串通投标行为应由市场监督管理部门进行查处。根据《中华人民共和国反不正当竞争法》等相关法律法规，市场监管部门负责监管市场经济秩序，包括打击不正当竞争行为，如串通投标等。如果涉及刑事责任，根据《中华人民共和国刑法》第二百二十三条的规定，串通投标罪属于扰乱市场秩序罪的一个罪名，可以由经济犯罪侦查部门主管。